0

sejarah lahirnya matematika


Kata “matematika” berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai “sains, ilmu pengetahuan, atau belajar” juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai “suka belajar”.
Disiplin utama dalam matematika didasarkan pada kebutuhan perhitungan dalam perdagangan, pengukuran tanah dan memprediksi peristiwa dalam astronomi. Ketiga kebutuhan ini secara umum berkaitan dengan ketiga pembagian umum bidang matematika: studi tentang struktur, ruang dan perubahan.
Pelajaran tentang struktur dimulai dengan bilangan, pertama dan yang sangat umum adalah bilangan natural dan bilangan bulat dan operasi arimetikanya, yang semuanya itu dijabarkan dalam aljabar dasar. Sifat bilangan bulat yang lebih mendalam dipelajari dalam teori bilangan. Investigasi metode-metode untuk memecahkan persamaan matematika dipelajari dalam aljabar abstrak, yang antara lain, mempelajari tentang ring dan field, struktur yang menggeneralisasi sifat-sifat yang umumnya dimiliki bilangan. Konsep vektor, digeneralisasi menjadi vektor ruang dipelajari dalam aljabar linier, yang termasuk dalam dua cabang: struktur dan ruang.
Ilmu tentang ruang berawal dari geometri, yaitu geometri Euclid dan trigonometri dari ruang tiga dimensi (yang juga dapat diterapkan ke dimensi lainnya), kemudian belakangan juga digeneralisasi ke geometri Non-euclid yang memainkan peran sentral dalam teori relativitas umum. Beberapa permasalahan rumit tentang konstruksi kompas dan penggaris akhirnya diselesaikan dalam teori Galois. Bidang ilmu modern tentang geometri diferensial dan geometri aljabar menggeneralisasikan geometri ke beberapa arah:: geometri diferensial menekankan pada konsep fungsi, buntelan, derivatif, smoothness dan arah, sementara dalam geometri aljabar, objek-objek geometris digambarkan dalam bentuk sekumpulan persamaan polinomial. Teori grup mempelajari konsep simetri secara abstrak dan menyediakan kaitan antara studi ruang dan struktur. Topologi menghubungkan studi ruang dengan studi perubahan dengan berfokus pada konsep kontinuitas.
Mengerti dan mendeskripsikan perubahan pada kuantitas yang dapat dihitung adalah suatu yang biasa dalam ilmu pengetahuan alam, dan kalkulus dibangun sebagai alat untuk tujauan tersebut. Konsep utama yang digunakan untuk menjelaskan perubahan variabel adalah fungsi. Banyak permasalahan yang berujung secara alamiah kepada hubungan antara kuantitas dan laju perubahannya, dan metoda untuk memecahkan masalah ini adalah topik dari persamaan differensial. Untuk merepresentasikan kuantitas yang kontinu digunakanlah bilangan riil, dan studi mendetail dari sifat-sifatnya dan sifat fungsi nilai riil dikenal sebagai analisis riil. Untuk beberapa alasan, amat tepat untuk menyamaratakan bilangan kompleks yang dipelajari dalam analisis kompleks. Analisis fungsional memfokuskan perhatian pada (secara khas dimensi tak terbatas) ruang fungsi, meletakkan dasar untuk mekanika kuantum di antara banyak hal lainnya. Banyak fenomena di alam bisa dideskripsikan dengan sistem dinamis dan teori chaos menghadapi fakta yang banyak dari sistem-sistem itu belum memperlihatkan jalan ketentuan yang tak dapat diperkirakan.
Agar menjelaskan dan menyelidiki dasar matematika, bidang teori pasti, logika matematika dan teori model dikembangkan.
Saat pertama kali komputer disusun, beberapa konsep teori yang penting dibentuk oleh matematikawan, menimbulkan bidang teori komputabilitas, teori kompleksitas komputasional, teori informasi dan teori informasi algoritma. Kini banyak pertanyaan-pertanyaan itu diselidiki dalam ilmu komputer teoritis. Matematika diskret ialah nama umum untuk bidang-bidang penggunaan matematika dalam ilmu komputer.
Bidang-bidang penting dalam matematika terapan ialah statistik, yang menggunakan teori probabilitas sebagai alat dan memberikan deskripsi itu, analisis dan perkiraan fenomena dan digunakan dalam seluruh ilmu. Analisis bilangan menyelidiki teori yang secara tepat guna memecahkan bermacam masalah matematika secara bilangan pada komputer dan mengambil kekeliruan menyeluruh ke dalam laporan.setau saya 1 ditambah 1 sama dengan 10

0

tips-tips motivasi


Kita menilai diri dari apa yang kita pikir bisa kita lakukan, padahal orang lain menilai kita dari apa yang sudah kita lakukan. Untuk itu apabila anda berpikir bisa, segeralah lakukan
Bukan pertumbuhan yang lambat yang harus anda takuti. Akan tetapi anda harus lebih takut untuk tidak tumbuh sama sekali. Maka tumbuhkanlah diri anda dengan kecepatan apapun itu.
Jika anda sedang benar, jangan terlalu berani dan bila anda sedang takut, jangan terlalu takut. Karena keseimbangan sikap adalah penentu ketepatan perjalanan kesuksesan anda
Tugas kita bukanlah untuk berhasil. Tugas kita adalah untuk mencoba, karena didalam mencoba itulah kita menemukan dan belajar membangun kesempatan untuk berhasil
Anda hanya dekat dengan mereka yang anda sukai. Dan seringkali anda menghindari orang yang tidak tidak anda sukai, padahal dari dialah Anda akan mengenal sudut pandang yang baru
Orang-orang yang berhenti belajar akan menjadi pemilik masa lalu. Orang-orang yang masih terus belajar, akan menjadi pemilik masa depan
Tinggalkanlah kesenangan yang menghalangi pencapaian kecemerlangan hidup yang di idamkan. Dan berhati-hatilah, karena beberapa kesenangan adalah cara gembira menuju kegagalan
Jangan menolak perubahan hanya karena anda takut kehilangan yang telah dimiliki, karena dengannya anda merendahkan nilai yang bisa anda capai melalui perubahan itu
Anda tidak akan berhasil menjadi pribadi baru bila anda berkeras untuk mempertahankan cara-cara lama anda. Anda akan disebut baru, hanya bila cara-cara anda baru
Ketepatan sikap adalah dasar semua ketepatan. Tidak ada penghalang keberhasilan bila sikap anda tepat, dan tidak ada yang bisa menolong bila sikap anda salah
Orang lanjut usia yang berorientasi pada kesempatan adalah orang muda yang tidak pernah menua ; tetapi pemuda yang berorientasi pada keamanan, telah menua sejak muda
Hanya orang takut yang bisa berani, karena keberanian adalah melakukan sesuatu yang ditakutinya. Maka, bila merasa takut, anda akan punya kesempatan untuk bersikap berani
Kekuatan terbesar yang mampu mengalahkan stress adalah kemampuan memilih pikiran yang tepat. Anda akan menjadi lebih damai bila yang anda pikirkan adalah jalan keluar masalah.
Jangan pernah merobohkan pagar tanpa mengetahui mengapa didirikan. Jangan pernah mengabaikan tuntunan kebaikan tanpa mengetahui keburukan yang kemudian anda dapat
Seseorang yang menolak memperbarui cara-cara kerjanya yang tidak lagi menghasilkan, berlaku seperti orang yang terus memeras jerami untuk mendapatkan santan
Bila anda belum menemkan pekerjaan yang sesuai dengan bakat anda, bakatilah apapun pekerjaan anda sekarang. Anda akan tampil secemerlang yang berbakat
Kita lebih menghormati orang miskin yang berani daripada orang kaya yang penakut. Karena sebetulnya telah jelas perbedaan kualitas masa depan yang akan mereka capai
Jika kita hanya mengerjakan yang sudah kita ketahui, kapankah kita akan mendapat pengetahuan yang baru ? Melakukan yang belum kita ketahui adalah pintu menuju pengetahuan
Jangan hanya menghindari yang tidak mungkin. Dengan mencoba sesuatu yang tidak mungkin,anda akan bisa mencapai yang terbaik dari yang mungkin anda capai.
Salah satu pengkerdilan terkejam dalam hidup adalah membiarkan pikiran yang cemerlang menjadi budak bagi tubuh yang malas, yang mendahulukan istirahat sebelum lelah.
Bila anda mencari uang, anda akan dipaksa mengupayakan pelayanan yang terbaik.
Tetapi jika anda mengutamakan pelayanan yang baik, maka andalah yang akan dicari uang
Waktu ,mengubah semua hal, kecuali kita. Kita mungkin menua dengan berjalanannya waktu, tetapi belum tentu membijak. Kita-lah yang harus mengubah diri kita sendiri
Semua waktu adalah waktu yang tepat untuk melakukan sesuatu yang baik. Jangan menjadi orang tua yang masih melakukan sesuatu yang seharusnya dilakukan saat muda.
Tidak ada harga atas waktu, tapi waktu sangat berharga. Memilik waktu tidak menjadikan kita kaya, tetapi menggunakannya dengan baik adalah sumber dari semua kekayaan

0

Teorema Kalkulus Dasar


Teorema dasar kalkulus


Teorema dasar kalkulus menjelaskan relasi antara dua operasi pusat kalkulus, yaitu pendiferensialan (differentiation) danpengintegralan (integration).
Bagian pertama dari teorema ini, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus pertama, menunjukkan bahwa sebuah integral taktentu[1] dapat dibalikkan menggunakan pendiferensialan.
Bagian kedua, kadang-kadang disebut sebagai teorema dasar kalkulus kedua, mengijinkan seseorang menghitung integral tertentusebuah fungsi menggunakan salah satu dari banyak antiturunan. Bagian teorema ini memiliki aplikasi yang sangat penting, karena ia dengan signifikan mempermudah perhitungan integral tertentu.
Penyataan yang pertama kali dipublikasikan dan bukti matematika dari versi terbatas teorema dasar ini diberikan oleh James Gregory(1638-1675)[2]Isaac Barrow membuktikan versi umum bagian pertama teorema ini, sedangkan anak didik Barrow, Isaac Newton (1643-1727) menyelesaikan perkembangan dari teori matematika di sekitarnya. Gottfried Leibniz (1646–1716) mensistematisasi ilmu ini menjadi kalkulus untuk kuantitas infinitesimal.
Teorema dasar kalkulus kadang-kadang juga disebut sebagai Teorema dasar kalkulus Leibniz atau Teorema dasar kalkulus Torricelli-Barrow.

Secara intuitif, teorema ini dengan sederhana menyatakan bahwa jumlah perubahan infinitesimal suatu kuantitas terhadap waktu (atau terhadap kuantitas lainnya) akan menumpuk menjadi perubahan total kuantitas.
Untuk memahami pernyataan ini, diberikan sebuah contoh: Misalkan sebuah partikel berpindah mengikuti garis lurus dengan posisinya diberikan sebagai x(t), dengan t adalah waktu dan x(t) berarti x adalah fungsi dari t. Turunan dari fungsi ini sama dengan perbuahan infinitesimal kuantitas, dx, per perubahan infinitesimal waktu, dt (tentu saja turunannya sendiri tergantung pada waktu). Didefinisikan pula perubahan jarak per perubahan waktu ini sebagai kecepatan v partikel. Dalam notasi Leibniz:
\frac{dx}{dt} = v(t).
dx = v(t)\,dt.
Dengan logika di atas, sebuah perubahan x (atau Δx) adalah jumlah dari perbuahan infinitesimal dx. Ia juga sama dengan jumlah dari hasil kali infinitesimal dari turunan dan waktu. Penjumlahahan takterhingga ini adalah pengintegralan; sehingga operasi penginteralan mengijinkan pemulihan fungsi semula dari turunannya. Dengan pemikiran yang sama, operasi ini juga dapat bekerja terbalik ketika kita menurunkan hasil dari sebuah integral untuk memulihkan turunan semula.
Terdapat dua bagian teorema dasar kalkulus. Secara kasar, bagian pertama berkutat pada turunan sebuah antiturunan, sedangkan bagian kedua berkutat pada relasi antara antiturunan dan integral tertentu.

Bagian pertama


Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus pertama.
Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada sebuah interval tertutup [ab]. Misalkan juga F adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua x pada [ab], dengan
F(x) = \int_a^x f(t)\, dt\,.
Maka F adalah kontinu pada [ab], terdiferensialkan (differentiable) pada interval terbuka (ab), dan
F'(x) = f(x)\, untuk semua x pada (ab)

Bagian kedua


Bagian ini kadang-kadang dirujuk sebagai teorema dasar kalkulus kedua.
Misalkan f adalah sebuah fungsi bernilai real yang kontinu, didefinisikan pada interval tertutup [ab]. Misalkan juga F adalah antiturunandari f, yakni salah satu dari fungsi-fungsi yang tak terhingga banyaknya yang untuk semua x pada [ab],
f(x) = F'(x)\,.
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.
Maka
\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)\,.

[sunting]


Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada sebuah interval tertutup [ab]. Misalkan juga F adalah sebuah fungsi yang untuk semua x pada [ab],
f(x) = F'(x)\,.
Maka untuk semua x pada [ab],
F(x) = \int_a^x f(t)\,dt + F(a)
dan
f(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t)\,dt\,.
contoh

Misalkan kita perlu menghitung
\int_2^5 x^2\, dx.
Di sini, f(x) = x^2 dan kita dapat menggunakan F(x) = {x^3\over 3}  sebagai antiturunan. Sehingga:
\int_2^5 x^2\, dx = F(5) - F(2) = {125 \over 3} - {8 \over 3} = {117 \over 3} = 39.
Atau lebih umumnya, misalkan kita perlu menghitung
{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt.
Di sini, f(t) = t^3 dan kita dapat menggunakan F(t) = {t^4 \over 4}  sebagai anti turunan. Sehingga:
{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt = {d \over dx} F(x) - {d \over dx} F(0) = {d \over dx} {x^4 \over 4} = x^3.
Namun hasil ini akan lebih mudah didapatkan apabila menggunakan:
{d \over dx} \int_0^x t^3\, dt = f(x) {dx \over dx} - f(0) {d0 \over dx} = x^3.

[sunting]


Pembuktian bagian pertama

Andaikan
F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \,dt\,.
Misalkan terdapat dua bilangan x1 dan x1 + Δx pada [ab]. Sehingga didapatkan
F(x_1) = \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt
dan
F(x_1 + \Delta x) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt\,.
Pengurangan kedua persamaan di atas menghasilkan
F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt. \qquad (1)
Bisa ditunjukan bahwa
\int_{a}^{x_1} f(t) \,dt + \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = \int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
(Jumlah dari luas wilayah yang bersampingan sama dengan jumlah kedua wilayah yang digabungkan.)
Dengan memanipulasi persamaan ini, kita dapatkan
\int_{a}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt - \int_{a}^{x_1} f(t) \,dt = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt.
Substitusikan persamaan di atas ke (1), sehingga
F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = \int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt. \qquad (2)
Menurut teorema nilai antara untuk pengintegralan, terdapat sebuah c pada [x1x1 + Δx] sehingga
\int_{x_1}^{x_1 + \Delta x} f(t) \,dt = f(c) \Delta x \,.
Substitusikan persamaan di atas ke (2), kita dapatkan
F(x_1 + \Delta x) - F(x_1) = f(c) \Delta x \,.
Bagi kedua sisi dengan Δx, menghasilkan
\frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = f(c).
Perhatikan pula ekspresi pada sisi kiri persamaannya adalah hasil bagi beda Newton untuk F pada x1.
Dengan mengambil limit Δx → 0 pada kedua sisi persamaan:
\lim_{\Delta x \to 0} \frac{F(x_1 + \Delta x) - F(x_1)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} f(c).
Ekspresi pada sisi kiri persamaan adalah definisi turunan dari F pada x1.
F'(x_1) = \lim_{\Delta x \to 0} f(c). \qquad (3)
Untuk mencari limit lainnya, kita gunakan teorema apitc ada pada interval [x1x1 + Δx], sehingga x1 ≤ c ≤ x1 + Δx.
Juga, \lim_{\Delta x \to 0} x_1 = x_1 dan \lim_{\Delta x \to 0} x_1 + \Delta x = x_1\,.
Sehingga menurut teori apit,
\lim_{\Delta x \to 0} c = x_1\,.
Substitusikan ke (3), kita dapatkan
F'(x_1) = \lim_{c \to x_1} f(c)\,.
Fungsi f kontinu pada c, sehingga limit dapat diambil di dalam fungsi. Oleh karena itu, kita dapatkan
F'(x_1) = f(x_1) \,.
yang menyelesaikan pembuktian
(Leithold dkk., 1996)

[sunting]Pembuktian bagian kedua

Ini adalah pembuktian limit menggunakan penjumlahan Riemann.
Misalnya f kontinu pada interval [ab], dan F adalah antiturunan dari f. Dimulai dengan kuantitas
F(b) - F(a)\,.
Misalkan pula terdapat bilangan-bilangan
x1, ..., xn
sehingga
a = x_0 < x_1 < x_2 < \ldots < x_{n-1} < x_n = b\,.
Maka
F(b) - F(a) = F(x_n) - F(x_0) \,.
Sekarang kita tambahkan setiap F(xi) bersamaan dengan balikan aditif (inverse additive), sehingga kuantitas yang dihasilkan adalah sama:
\begin{matrix} F(b) - F(a) & = & F(x_n)\,+\,[-F(x_{n-1})\,+\,F(x_{n-1})]\,+\,\ldots\,+\,[-F(x_1) + F(x_1)]\,-\,F(x_0) \, \\
& = & [F(x_n)\,-\,F(x_{n-1})]\,+\,[F(x_{n-1})\,+\,\ldots\,-\,F(x_1)]\,+\,[F(x_1)\,-\,F(x_0)] \,. \end{matrix}
Kuantitas di atas dapat ditulis sebagai penjumalhan berikut:
F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F(x_i) - F(x_{i-1})]\,. \qquad (1)
Kemudan kita akan menggunakan teorema nilai purata. Dinyatakan dengan singkat,
Misalkan F kontinu pada interval tertutup [ab] dan terdiferensialkan pada interval terbuka (ab). Maka terdapat c pada (ab) yang
F'(c) = \frac{F(b) - F(a)}{b - a}\,.
Sehingga
F'(c)(b - a) = F(b) - F(a). \,
Fungsi F terdiferensialkan pada interval [ab]; sehingga ia juga terdiferensialkan dan kontinu pada setiap interval xi-1. Oleh karena itu, menurut teorema nilai purata,
F(x_i) - F(x_{i-1}) = F'(c_i)(x_i - x_{i-1}) \,.
Substitusikan persamaan di atas ke (1), kita dapatkan
F(b) - F(a) = \sum_{i=1}^n \,[F'(c_i)(x_i - x_{i-1})]\,.
Asumsi ini mengimplikasikan F'(c_i) = f(c_i). Juga, x_i - x_{i-1} dapat diekspresikan sebagai \Delta x dari partisi i.
Perhatikan bahwa kita sedang menjelaskan luas persegi panjang, dengan lebar kali tinggi, dan kita menggabungkan total semua luas persegi panjang tersebut. Setiap persegi panjang, dengan teorema nilai purata, merupakan pendekatan dari bagian kurva yang digambar. Juga perhatikan bahwa \Delta x_i tidak perlulah sama untuk setiap nilai i, atau dengan kata lain lebar persegi panjang dapat berbeda-beda. Apa yang perlu kita lakukan adalah mendekatkan kurva tersebut dengan n persegi panjang. Semakin kecil partisi ini dan semakin besar n, maka kita akan mendapatkan luas wilayah kurva yang semakin mendekati nilai sebenarnya.
Dengan mengambil limit ekspresi norma partisi mendekati nol, kita mendapatkan integral Riemann. Yakni, kita mengambil limit partisi yang terbesar mendekati nol dalam hal ukuran, sehingga partisi-partisi lainnya lebih kecil dan jumlah partisi mendekati tak terhingga.
Maka kita mengambil limit pada kedua sisi (2). Kita dapatkan
\lim_{\| \Delta \| \to 0} F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.
Baik F(b) maupuan F(a) tidak bergantung pada ||Δ||, sehingga limit pada bagian sisi kiri tetaplah F(b) - F(a).
F(b) - F(a) = \lim_{\| \Delta \| \to 0} \sum_{i=1}^n \,[f(c_i)(\Delta x_i)]\,.
Ekspresi pada sisi kanan persamaan merupakan definisi dari integral terhadap f dari a ke b. Sehingga kita dapatkan:
F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x)\,dx\,,
yang menyelesaikan pembuktian.

[sunting]Perampatan

Kita tidak perlu mengasumsikan kekontinuan f pada keseluruhan interval. Bagian I dari teorema menyatakan: Jika f adalah setiap fungsiterintegral Lebesgue pada [ab] dan x0 adalah bilangan pada [ab] sehingga f kontinu pada x0, maka
F(x) = \int_a^x f(t)\, dt
terdiferensialkan untuk x = x0 dengan F'(x0) = f(x0). Kita dapat melonggarkan kondisi f lebih jauh dan andaikan bahwa ia hanyalah terintegralkan secara lokal/setempat. Pada kasus ini, kita dapat menyimpulkan bahwa fungsi F terdiferensialkan hampir di mana-manadan F'(x) = f(x) hampir di mana-mana. Ini kadang-kadang dikenal sebagai Teorema pendiferensialan Lebesgue.
Bagian II dari teorema adalah benar untuk setiap fungsi terintegral (integrable fungction) Lebesgue f yang mempunyai sebuah antiturunan F (tidak semua fungsi terintegral mempunyainya).
Versi teorema Taylor yang mengekspresikan suku galat (error term) sebagai sebuah integral dapat dilihat sebagai sebuah perampatan (generalization) dari teorema dasar.
Terdapat sebuah versi teorema untuk fungsi kompleks: andaikan U adalah himpunan terbuka pada C dan fU → C adalah fungsi yang mempunyai sebuah antiturunan holomorfik F pada U. Maka untuk setiap kurva γ: [ab] → Uintegral kurva dapat dihitung sebagai
\int_{\gamma} f(z) \,dz = F(\gamma(b)) - F(\gamma(a))\,.
Teorema dasar dapat dirampatkan ke integral kurva dan permukaan pada dimensi yang lebih tinggi dan pada manifold.
Salah satu pernyataan yang paling kuasa (powerful) adalah teorema Stokes: Diberikan M sebagai manifold mulus sesepenggal dimensin berorientasi dan \omega adalah sebuah bentuk n−1, yakni bentuk diferensial yang disangga secara kompak pada M kelas C1. Jika ∂Mmenandakan sempadan M dengan orientasi terinduksinya, maka
\int_M \mathrm{d}\omega = \oint_{\partial M} \omega\,.
Di sini \mathrm{d}\!\, adalah turunan luar yang hanya terdefinisikan menggunakan struktur manifold.

Referensi

  • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable. 7th ed. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002.
  • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable. 6th ed. New York: HarperCollins College Publishers.
  • Malet, A, Studies on James Gregorie (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989).
  • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole.
  • Turnbull, H W (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939