Guirans Belajar Blogger: Pertidaksamaan Cauchy-Schwar

Pertidaksamaan ini sangat terkenal di dunia matematika. Bentuk pertidaksamannya adalah seperti ini

$(ax+by+cz)^2 \le (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)$

Pertidaksamaan ini akan berlaku sama dengan jika $a:b:c=x:y:z$

Bentuk pertidaksamaan Cauchy-Schwarz ini juga berlaku untuk banyak bilangan. Bentuk pertidaksamaan ini juga berlaku untuk yang berikut:

$(a_1x_1+a_2x_2+ \dots +a_nx_n)^2 \le ({a_1}^2+{a_2}^2+ \dots +{a_n}^2)({x_1}^2+{x_2}^2+ \dots +{x_n}^2)$

Sama halnya dengan sebelumnya, pertidaksamaan ini berlaku sama dengan jika perbandingannya sama. Seperti pada kasus sebelumnya.

Bukti-bukti untuk pertidaksamaan ini juga sangat banyak sekali. Salah satu buktinya adalah bukti yang paling sederhana

$(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)-(ax+by+cz)^2$

$=(a^2y^2+b^2x^2-2abxy)+(b^2z^2+c^2y^2-2bcyz)+(c^2x^2+a^2z^2-2acxz)$

$=(ay-bx)^2+(bz-cy)^2+(cx-az)^2 \ge 0$

Bukti selesai.

Bentuk terakhir akan sama dengan nol jika

$ay-bx=0 \qquad bz-cy=0 \qquad cx-az=0$

Pages